চতুর্ভুজ

চতুর্ভুজঃ চারটি বাহু দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে চতুর্ভুজ বলে।

চিত্রে, ABCD একটি চতুভুজ। 

বৈশিষ্টঃ ১) চারটি কোণের সমষ্টি ৩৬০∘
২) ইহার দুটি কর্ণ আছে।
৩) কর্ণদ্বয়ের ছেদক বিন্দুকে কেন্দ্র বলে।
৪) চতুর্ভুজ পরিসীমা কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি অপেক্ষা বৃহত্তম।

৫) চতুর্ভুজের অর্ধপরিসীমা কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি অপেক্ষা ক্ষুদ্রতম।
          ∴AB+BC+CD+AD< AC+BD
*** ৬) চতুর্ভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দুগুলো পর্যায়ক্রমে যোগ করলে একটি সামান্তরিক উৎপন্ন হয়।
              ∴EFGH একটি সামান্তরিক।

চতুর্ভুজ ৬ প্রকারঃ
১) আয়তক্ষেত্র***
২) সামাতরিক
৩) বর্গক্ষেত্র***
৪) রম্বস
৫) ট্রাপিজিয়াম
৬) বিষমবাহু/ঘুড়ি

আয়তক্ষেত্রঃ যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং প্রত্যেকটি কোণই সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।

চিত্রে, AB∥CD,AD∥BC
         AB=CD,AD=BC
সুতরাং, ABCD একটা আয়তক্ষেত্র।
 বৈশিষ্ট্যঃ ১) বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল।
২) প্রতেকটি কোন পরস্পর সমান।
৩) প্রত্যেক কোণের পরিমান ৯০∘।
৪) এর কর্ণদুটি পরস্পর সমান। ∴AC=BD
৫) আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পর  সমদ্বিখন্ডিত করে।
          ∴AO=OC=BO=OD
৬) পরিসীমাঃ ২(দৈর্ঘ্য+প্রস্থ) একক

৮) ক্ষেত্রফল= (ভুমি × উচ্চতা ) বর্গএকক
                     = (দৈর্ঘ্য × উচ্চতা) বর্গএকক

 প্রশ্নঃ একটি আয়ত ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দেরগুন এবং ক্ষেত্রফল ২১৬ বর্গমিটার হলে পরিসীমা কত?

প্রশ্নঃ একটি আয়ত ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২০% বাড়ালে এবং প্রস্থ ১০% কমালে ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি বা হ্রাস পাবে?

প্রশ্নঃ একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ দৈর্ঘ্য ৬ মিটার কম এবং ক্ষেত্রফল ১৬০ বর্গমিটার হলে পরিসীমা কত?

সামান্তরিকঃ যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোন কোনই সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে।

চিত্রে, AB=CD, AD=BC
          AB∥CD, AD∥BC
         ⎳A=⎳C ≠ 90∘
         ⎳B=⎳D ≠ 90∘
∴ ABCD একই সামান্তরিক।

বৈশিষ্টঃ ১) বিপরীত বাহুদ্বয় সমান ও সমান্তরাল।
২) কোন কোণই সমকোণ নয়।
৩) বিপরীত কোণদ্বয় সমান।
৪) ইহার দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি ১৮০∘ ।
⎳A+⎳B= 180∘
⎳D+⎳C= 180∘
⎳A+⎳D= 180∘
৫) কর্ণদ্বয় পরস্পর অসমান।
৬) কর্ণদ্বয় পরস্পর সমদ্বিখন্ডিত করে।
৭) পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য+প্রস্থ) একক
৮) ক্ষেত্রফল = (ভূমি×উচ্চতা) বর্গ একক
৯) ক্ষেত্রফল = dh বর্গ একক
                         এখানে, d হচ্ছে কর্ণ, h হচ্ছে বিপরীত কৌনিক শীর্ষ বিন্দু থেকে উক্ত কর্নের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য।

১০) ক্ষেত্রফল = ab sin𝜭 বর্গ একক
                          এখানে, a ও b হচ্ছে সামান্তরিকের দুটি বাহু এবং 𝜭 হচ্ছে এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ।

প্রশ্নঃ একটি সামান্তরিকের বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৫ মিটার, ২০ মিটার এবং এর অন্তর্ভুক্ত কোণ ৩০⁰ হলে ক্ষেত্রফল কত?

প্রশ্নঃ একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ১২০ বর্গমিটার এবং একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ২৪ মিটার হলে বিপরীত কৌনিক শীর্ষ বিন্দু হতে অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

বর্গক্ষেত্রঃ যে চতুর্ভুজের চারটি বাহুই সমান বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল এবং প্রত্যেকটি কোনই সমকোণ তাকে বর্গ ক্ষেত্র বলে।

চিত্রে, AB=BC=CD=DA
         AB∥CD, BC∥AD
        ⎳A=⎳B=⎳C=⎳D= 90⁰
∴ ABCD একটি বর্গক্ষেত্র।


বৈশিষ্ট্যঃ ১) প্রত্যেকটি বাহু সমান।
২) প্রত্যেকটি কোণ সমান।
৩) প্রত্যেক কোণের পরিমাণ ৯০⁰
৪) কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান। AC=BD
৫) কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
৬) পরিসীমা= 4a একক
৭) কর্ণ= ⎷2 a একক

৮) ক্ষেত্রফল = a² বর্গ একক

প্রশ্নঃ একটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য 6⎷2 হলে পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল কত?
সমাধানঃ
                প্রশ্নমতে,
                               ⎷2a = 6⎷2
                            বা, a = 6
পরিসীমা= 4a
              = 4×6
              = 24
ক্ষেত্রফল= 6²
               = 36

প্রশ্নঃ একটি বর্গের ক্ষেত্রফল ২৫ বর্গমিটার হলে এর কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রফল কত?
সমাধানঃ
              বর্গের বাহু = ⎷25
                               = 5 মিটার
              বর্গের কর্ণ = 5⎷2 মিটার

              কর্ণের উপর অঙ্কিত ক্ষেত্রফল= বাহু × বাহু
                                                               = 5⎷2×5⎷2
                                                               = 50
নোটঃ কোন বর্গের ক্ষেত্রফল ইহার কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক।


রম্বসঃ যে চতুর্ভুজের চরটি বাহুই সমান এবং সমান্তরাল কিন্তু কোন কোণই সমকোন নয় তাকে রম্বস বলে।

চিত্রে, AB=BC=CD=DA
         AB∥CD, BC∥AD
         ⎳A=⎳C≠ 90⁰
        ⎳B=⎳D≠ 90⁰
∴ ABCD একটি রম্বস।



বৈশিষ্ট্যঃ ১) চারটি বাহুই সমান।
২) বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল।
৩) কোন কোনই সমকোণ নয়।
৪) বিপরীত কোনগুলো সমান।
৫) ইহার দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি ১৮০⁰ ।
৬) বম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
৭) পরিসীমা= 4a একক
৮) ক্ষেত্রফল= (ভুমি×উচ্চতা) বর্গ একক
৯) উচ্চতা= ক্ষেত্রফল÷ ভুমি

১০) ক্ষেত্রফল=(d1×d2)÷2 বর্গ একক
                       এখানে,  d1 ও d2 কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য।

প্রশ্নঃ একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ১৬ সেন্টিমিটার ও ৩০ সেন্টিমিটার হলে ক্ষেত্রফল পরিসীমা ও উচ্চতা কত?

প্রশ্নঃ একটি রম্বসের পরিসীমা ২০ মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত?

ক্ষেত্রফলঃ (৮×৬) ÷ ২ বর্গমিটার
               = ৪৮÷২ বর্গমিটার
               = ২৪ বর্গমিটার

ট্রাপিজিয়ামঃ যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু সমান্তরাল এবং অপর দুটি বাহু তির্যোক তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।

চিত্রে, AB∥CD, AD∦BC
         ∴ABCD একটি ট্রাপিজিয়াম।



বৈশিষ্ট্যঃ ১) সমান্তরাল বাহুদ্বয় কখনো সমান হতে পারে না।
২) সমান্তরাল বাহু ব্যতিত অপর দুটি বাহুকে তির্যক বাহু বলে।
৩) বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুদ্বয় সমান।
৪) ক্ষেত্রফল= ১/২ ×h(সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) বর্গ একক

প্রশ্নঃ একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৫৬ বর্গমিটার এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ মিটার ও ৬ মিটার হলে উচ্চতা কত?