ত্রিভুজ
ত্রিভুজঃ তিনটি বাহু দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে ত্রিভুজ বলে।
বৈশিষ্ট্যঃ ১) ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০∘
⎳A+⎳B+⎳C= 180∘
২) সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
∆ABC এর AB=AC হলে,
⎳B=⎳C হয়।
৩) ত্রিভুজের যে কোন একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিস্থ কোন উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
৪) ত্রিভজের প্রত্যেক বাহুকে একইক্রমে বর্হিত করলে যে তিনটি বহিস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি ৪ সমকোণ বা ৩৬০∘।
⎳P=⎳Y+⎳Z
⎳Q=⎳X+⎳Z
⎳R=⎳X+⎳Y
⎳P+⎳Q+⎳R=⎳Y+⎳Z+⎳X+⎳Z+⎳X+⎳Y
=2⎳X+2⎳Y+2⎳Z
=2(⎳X+⎳Y+⎳Z)
=2⤬ 180∘
=360∘
৫) ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুকে উভয় দিকে বর্ধিত করলে যে ৬টি বহিস্থ কোন উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি ৭২০∘ বা ৮ সমকোন।
৬) ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তম।
৭) ত্রিভুজের মধ্যমা ত্রিভুজকে সমান দুইটি ক্ষেত্রফলে ভাগ করে।
৮) ত্রিভুজের বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোন ক্ষুদ্রতম বাহুর বিপরীত কোন অপেক্ষা বৃহত্তম।
AC > BC
⎳B >⎳A
৯) ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোগ রেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং অর্ধেক।
DE∥BC
প্রশ্নঃ একটি ত্রিভুজের বাহুগূলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৫,৬ ও ৭ সেমিটার হলে ক্ষেত্রফল কত?
সমকোণী ত্রিভুজঃ যে ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ তাকে সমকোণী ত্রিভুজ বলে।
চিত্রে, ⎳B=90∘
∴∆ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
বৈশিষ্ট্যঃ ১) একটি কোন সমকোণ।
২) অপর দুটি কোণ সুক্ষকোণ।
৩) সমকোণ ব্যতিত অপর দুটি কোণের সমষ্টি ৯০∘।
৪) সমকোণ ব্যতিত অপর দুটি কোণ পরস্পর পূরক কোণ।
৫) সমকোনের বিপরীত বাহুকে অতিভুজ বলে।
৬) অতিভুজ ই বৃহত্তম বাহু।
⎳A+⎳B+⎳C= 180∘
২) সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
∆ABC এর AB=AC হলে,
⎳B=⎳C হয়।
৩) ত্রিভুজের যে কোন একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিস্থ কোন উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
 | ||
| চিত্রে ⎳ACD = ⎳ABC + ⎳BAC |
⎳P=⎳Y+⎳Z
⎳Q=⎳X+⎳Z
⎳R=⎳X+⎳Y
⎳P+⎳Q+⎳R=⎳Y+⎳Z+⎳X+⎳Z+⎳X+⎳Y
=2⎳X+2⎳Y+2⎳Z
=2(⎳X+⎳Y+⎳Z)
=2⤬ 180∘
=360∘
৫) ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুকে উভয় দিকে বর্ধিত করলে যে ৬টি বহিস্থ কোন উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি ৭২০∘ বা ৮ সমকোন।
৬) ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তম।
 |
| AB+BC > AC |
AC > BC
⎳B >⎳A
৯) ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোগ রেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং অর্ধেক।
সমবাহু ত্রিভুজঃ যে ত্রিভুজের তিনটি বাহুই পরস্পর সমান তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে।
চিত্রে, AB=BC=CA
∴ ∆ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
বৈশিষ্ট্যঃ ১) তিনটি বাহুই পরস্পর সমান।
২) কোন তিনটি পরস্পর সমান।
৩) যে কোন একটি কোণের পরিমান ৬০∘ ।
৪) সমবাহু ত্রিভুজ একটি সুক্ষকোণী ত্রিভুজ।
৫) যে কোন একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমান ১২০∘।
৬) সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা ত্রয় পরস্পর সমান।
৭) পরিসীমা=3a একক।
১০) সমবাহু ত্রিভুজগুলোর বাহু গুলোর মধ্যবিন্দু গুলো পর্যায়ক্রমিক ভাবে যোগ করলে যে সমবাহু ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় ইহার ক্ষেত্রফল মূল ত্রিভুজের ১/৪ অংশ।
∆ক্ষেত্র DEF = 1/4 ∆ক্ষেত্র ABC
প্রশ্নঃ একটি ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রগল ৩√৩ বর্গমিটার বেড়ে যায় বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
সমাধানঃ
ধরি, বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার
1 মিটার বাড়ালে দৈর্ঘ্য হয়= a+1 মিটার।
প্রশ্নঃ একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ১২ মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত?
সমাধানঃ
পরিসীমা=3a একক।
প্রশ্নমতে, 3a = 12
বা, a = 4
প্রশ্নঃ একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৩৬√৩ বর্গমিটার হলে পরিসীমা কত?
পরিসীমা= 3a
= 3×12
= 36
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজঃ যে ত্রিভুজের দুটি বাহু পস্পর সমান তারা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলে।
চিত্রে, AB=AC≠BC
∴ ∆ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
বৈশিষ্ট্যঃ ১) দুটি বাহু পরস্পর সমান।
২) সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণগুলি সমান।
৩) পরিসীমা= 2a+b একক
প্রশ্নঃ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ৫ মিটার এবং অসমান বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ মিটার হলে ক্ষেত্রফলও পরিসীমা কত?
সমাধানঃ
পরিসীমা= 2a+b
= 2× 5+8
= 10+8
= 18
প্রশ্নঃ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিজের ভূমির দৈর্ঘ্য ৬০ মিটার ক্ষেত্রফল ১২০০ বর্গমিতার হলে সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
বিষমবাহু ত্রিভুজঃ যে ত্রিভুজের তিনটি বাহু পরস্পর অসমান তাকে বিষমবাহু ত্রিভুজ বলে।
চিত্রে, AB≠BC≠AC
∴ ∆ABC একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ।
বৈশিষ্টঃ ১) তিনটি বাহু পরস্পর অসমান।
২) কোণগুলোও পরস্পর আসমান।
৩) পরিসীমা 2s= a+b+c একক।
প্রশ্নঃ একটি ত্রিভুজের বাহুগূলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৫,৬ ও ৭ সেমিটার হলে ক্ষেত্রফল কত?
সমকোণী ত্রিভুজঃ যে ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ তাকে সমকোণী ত্রিভুজ বলে।
চিত্রে, ⎳B=90∘
∴∆ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
বৈশিষ্ট্যঃ ১) একটি কোন সমকোণ।
২) অপর দুটি কোণ সুক্ষকোণ।
৩) সমকোণ ব্যতিত অপর দুটি কোণের সমষ্টি ৯০∘।
৪) সমকোণ ব্যতিত অপর দুটি কোণ পরস্পর পূরক কোণ।
৫) সমকোনের বিপরীত বাহুকে অতিভুজ বলে।
৬) অতিভুজ ই বৃহত্তম বাহু।
প্রশ্নঃ একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভূজ ছাড়া অন্য দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৭মিটার, ৭ মিটার হলে অতিভূজ কত?
প্রশ্নঃ সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ১২ মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত?
প্রশ্নঃ কোন ত্রিভুজের কোনগুলোর ১ঃ১ঃ২ হলে বৃহত্তম কোণের মান কত এবং ত্রিভুজটি কি ধরনের।
সমাধানঃ
প্রশ্নমতে, X+X+2X=180∘
বা, 4X=180∘
বা, X=45∘
কোন গুলো 45∘:45∘:90∘
উত্তর হবে সমদ্বিবাহু এবং সমকোণী।
সূক্ষকোণী ত্রিভুজঃ যে ত্রিভুজের তিনটি কোণই ৯০∘এর কম তাকে সূক্ষকোণী ত্রিভুজ বলে।
চিত্রে, ⎳A≺ 90∘
⎳B≺ 90∘
⎳C≺ 90∘
∴∆ ABC একটি সূক্ষকোণী ত্রিভুজ।
স্থুলকোণী ত্রিভুজ: যে ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০ এর থেকে বড় তাকে স্থুলকোণী ত্রিভুজ বলে।
চিত্রে, B>90
ABC একটি স্থুলকোণী।
বৈশিষ্ট্যঃ ১) একটি কোণ স্থুলকোণ।
২) অপর দুটি কোণ সুক্ষকোণ।
৩) বৃহত্তর বাহুর বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি অপেক্ষা বৃহত্তর।
***যদি কোন ত্রিভুজের ২ টি বাহু এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ দেওয়া থাকে তাহলে ক্ষেত্রফল=১/২ absin বর্গ একক।
এখানে, a ও b হচ্ছে ত্রিভুজের ২ টি বাহু এবং অন্তুভুক্ত কোণ।
প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৫ ও ২০ মিটার এবং এদের অন্তুভুক্ত কোণ ৩০ হলে ক্ষেত্রফল কত?
প্রশ্নঃ সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ১২ মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত?
প্রশ্নঃ কোন ত্রিভুজের কোনগুলোর ১ঃ১ঃ২ হলে বৃহত্তম কোণের মান কত এবং ত্রিভুজটি কি ধরনের।
সমাধানঃ
প্রশ্নমতে, X+X+2X=180∘
বা, 4X=180∘
বা, X=45∘
কোন গুলো 45∘:45∘:90∘
উত্তর হবে সমদ্বিবাহু এবং সমকোণী।
সূক্ষকোণী ত্রিভুজঃ যে ত্রিভুজের তিনটি কোণই ৯০∘এর কম তাকে সূক্ষকোণী ত্রিভুজ বলে।
⎳B≺ 90∘
⎳C≺ 90∘
∴∆ ABC একটি সূক্ষকোণী ত্রিভুজ।
স্থুলকোণী ত্রিভুজ: যে ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০ এর থেকে বড় তাকে স্থুলকোণী ত্রিভুজ বলে।
চিত্রে, B>90
ABC একটি স্থুলকোণী।
বৈশিষ্ট্যঃ ১) একটি কোণ স্থুলকোণ।
২) অপর দুটি কোণ সুক্ষকোণ।
৩) বৃহত্তর বাহুর বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি অপেক্ষা বৃহত্তর।
***যদি কোন ত্রিভুজের ২ টি বাহু এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ দেওয়া থাকে তাহলে ক্ষেত্রফল=১/২ absin বর্গ একক।
এখানে, a ও b হচ্ছে ত্রিভুজের ২ টি বাহু এবং অন্তুভুক্ত কোণ।
প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৫ ও ২০ মিটার এবং এদের অন্তুভুক্ত কোণ ৩০ হলে ক্ষেত্রফল কত?
No comments